Überraschende verborgene Ordnung vereint Primzahlen und kristallähnliche Materialien

Anonim

Die scheinbar zufälligen Ziffern, die als Primzahlen bekannt sind, sind nicht annähernd so unscharf wie bisher angenommen. Eine neue Analyse von Forschern der Princeton University hat Muster in Primzahlen aufgedeckt, die denen ähnlich sind, die in den Positionen von Atomen in bestimmten kristallartigen Materialien gefunden werden.

Die Forscher fanden eine überraschende Ähnlichkeit zwischen der Abfolge von Primzahlen über weite Strecken der Zahllinie und dem Muster, das durch das Aufleuchten von Röntgenstrahlen auf ein Material entsteht, um die innere Anordnung seiner Atome zu zeigen. Die Analyse könnte dazu führen, dass Primzahlen mit hoher Genauigkeit vorhergesagt werden, sagten die Forscher. Die Studie wurde am 5. September im Journal of Statistical Mechanics veröffentlicht: Theorie und Experiment .

"Es gibt viel mehr Ordnung in Primzahlen als jemals zuvor entdeckt", sagte Salvatore Torquato, Professor für Naturwissenschaften von Princeton Lewis Bernard, Professor für Chemie und das Princeton-Institut für die Wissenschaft und Technologie von Materialien. "Wir haben gezeigt, dass sich die Primzahlen fast wie ein Kristall oder, genauer gesagt, ähnlich wie ein quasikristallines Material verhalten, das man Quasikristall nennt."

Primzahlen sind Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst geteilt werden können. Sehr große Primzahlen sind die Bausteine ​​vieler Kryptographiesysteme. Primzahlen scheinen willkürlich entlang der Zahlenlinie verteilt zu sein, obwohl Mathematiker eine gewisse Ordnung erkannt haben. Die ersten paar Primzahlen sind 2, 3, 5, 7 und 11 und werden sporadisch höher in der Zahlenreihe.

Torquato und seine Kollegen haben herausgefunden, dass die Primzahlen, wenn sie über große Streifen der Zahlenlinie betrachtet werden, mehr geordnet sind als bisher angenommen und in die Klasse der als "Hyperuniformität" bekannten Muster fallen.

Hyperuniforme Materialien haben eine spezielle Ordnung in großen Abständen und schließen Kristalle, Quasikristalle und spezielle ungeordnete Systeme ein. Hyperuniformität findet sich in der Anordnung von Zapfenzellen in Vogelaugen, in bestimmten seltenen Meteoriten und in der großräumigen Struktur des Universums.

Das Team zeigte, dass die Reihenfolge, die sie in den Primzahlen gefunden haben, dem Muster entspricht, das entsteht, wenn Röntgenstrahlen mit bestimmten Formen von Materie interagieren. Als Chemiker ist Torquato mit der Röntgenkristallographie vertraut, bei der Röntgenstrahlen durch das dreidimensionale Atomgitter eines Kristalls scheinen. Mit Diamanten oder anderen Kristallen wird dies zu einem vorhersagbaren Muster von hellen Punkten oder Spitzen führen, die als Bragg-Spitzen bekannt sind.

Im Vergleich zu typischen Kristallen ergeben Quasikristalle eine deutliche und komplexere Anordnung von Bragg-Peaks. Die Spitzen in einer typischen Kristallform bilden in regelmäßigen Abständen leere Lücken zwischen ihnen. In Quasikristallen ist zwischen zwei beliebigen ausgewählten Bragg-Peaks ein anderer Bragg-Peak vorhanden.

Das Muster, das Torquato und seine Kollegen in den Primzahlen entdeckten, ähnelt dem von Quasikristallen und einem anderen System, das limitperiodische Ordnung genannt wird, aber es unterscheidet sich genug, dass die Forscher es "effektiv limitperiodische" Ordnung nennen. Die Primzahlen erscheinen in "selbstähnlichen" Gruppierungen, was bedeutet, dass zwischen Spitzen bestimmter Höhen Gruppierungen von kleineren Spitzen und so weiter existieren.

Das Team entdeckte starke Hinweise auf ein solches Muster mithilfe von Computersimulationen, um zu sehen, was passieren würde, wenn Primzahlen wie eine Reihe von Atomen behandelt würden, die Röntgenstrahlen ausgesetzt waren. In einer Arbeit, die im Februar im Journal of Physics A veröffentlicht wurde, berichteten die Forscher, dass sie ein überraschendes Muster von Bragg-ähnlichen Peaks gefunden haben, was darauf hinweist, dass die Primzahlmuster hoch geordnet waren.

Die aktuelle Studie verwendet die Zahlentheorie, um eine theoretische Grundlage für diese früheren numerischen Experimente zu liefern. Die Forscher erkannten, dass, obwohl Primzahlen in kurzen Intervallen zufällig erscheinen, Torquato sagte, dass bei ausreichend langen Abschnitten der Zahlenlinie aus sonst scheinbar chaotischen Zahlen ein Sinn gemacht werden kann.

»Wenn du dich an diese Grenze begibst, Boom!« Sagte er und schnippte mit den Fingern. "Die geordnete Struktur erscheint."

Torquato war Co-Autor der Arbeit mit Ge Zhang, der 2017 in Chemie promovierte, und dem Mathematik-Doktoranden Matthew de Courcy-Ireland.

De Courcy-Ireland sagte, dass ähnliche numerische Muster durch die "Kreismethode" beschrieben wurden, die vor fast einem Jahrhundert entwickelt wurde, um Muster in Primzahlen zu finden. "Für mich ist es interessant, diese Ergebnisse, die bis 1922 zurückreichen, auf eine Art und Weise neu zu formulieren, die Ihnen ein neues Beispiel gibt, ein System mit einer Reihe von Eigenschaften, die sehr interessant sind und möglicherweise den Weg weisen könnten wo Sie nach mehr physikalischen Beispielen suchen könnten ", sagte er.

Die Entdeckung könnte der Forschung sowohl in Mathematik als auch in Materialwissenschaften helfen. "Primzahlen haben schöne strukturelle Eigenschaften, einschließlich unerwartete Ordnung, Hyperuniformität und effektives periodisches Verhalten", sagte Torquato. "Die Primzahlen lehren uns einen völlig neuen Zustand der Materie."

"Das Interessante an dieser Arbeit ist, dass sie uns eine andere Perspektive auf die Primzahlen gibt: Anstatt sie als Zahlen zu betrachten, können wir sie als Teilchen betrachten und versuchen, ihre Struktur mittels Röntgenbeugung zu bestimmen", sagte Henry Cohn, a Hauptforscher bei Microsoft Research, der nicht an der Studie beteiligt war. "Es stellt sich heraus, dass es uns die gleiche Art von Information gibt wie die traditionellen zahlentheoretischen Methoden und dass wir es wunderbar mit früheren Arbeiten verbinden. Es ist eine schöne neue Perspektive auf diese Information, und es eröffnet neue Verbindungen zur Materialwissenschaft und Streutheorie. "

Die Studie "Multiskalenordnung in den Primzahlen durch Streuung aufdecken" wurde im Journal of Statistical Mechanics: Theorie und Experiment am 5. September veröffentlicht.

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