Der Mathematiker verwendet dynamische Ideen für Einblicke in die Geometrie eines Raumes

Anonim

Steven Frankel hat keinen Hunger. Er will nur über Nudeln reden.

Frankel stellt sich eine große Schüssel mit Nudeln vor - und ob und wann die Nudeln sich um sich selbst zurückschlängeln könnten -, unendlich verstreckt, wie sie vielleicht von einer Art kosmischer Nudelmaschine stammen.

Die Nudeln sind eine vereinfachte Methode für Frankel, Dozent für Mathematik in Kunst und Wissenschaft an der Washington University in St. Louis, um eine Verbindung zwischen der Geometrie eines Raumes und der Dynamik dieses Raumes zu beschreiben - wie sich der Raum im Laufe der Zeit verändert. Es ist alles Teil seiner ersten Solo-Artikel in der führenden Zeitschrift seines Fachs, der Annals of Mathematics .

Geometriker und Dynamiker neigen dazu, zwei getrennte Mathe-Lager zu bilden, aber Frankel zieht es vor, über diese Dinge in Kombination nachzudenken. Und er ist nicht alleine. Im Juni 2018 reiste er nach Shenzhen, China, um einige seiner Arbeiten im Rahmen der Internationalen Konferenz für Dynamische Systeme zu präsentieren.

"Sie können einige der dynamischen Ideen verwenden, um einen Einblick in die Geometrie eines Raumes zu bekommen", sagte Frankel. "Es gibt Ihnen eine Möglichkeit, einen dreidimensionalen Raum in eindimensionale Stränge aufzubrechen. Und Sie können hoffen, dass, wenn Sie diese eindimensionalen Stränge verstehen können, Sie auch verstehen, wie sie zusammenpassen - um einen Einblick in Ihr zu bekommen Raum."

Stellen Sie sich eine Strömung als eine flache Flüssigkeit in Bewegung vor. Wenn Sie ein einzelnes Molekül in diesem Fluss identifizieren und verfolgen können, wie es sich im Laufe der Zeit bewegt, können Sie sich vorstellen, eine Art Karte zu erstellen, die anzeigt, wohin der Punkt gegangen ist und wann.

Wenn sich die Strömung nicht auf der Oberfläche eines Blattes bewegt, sondern sich über einen dreidimensionalen Raum mit unterschiedlichen geometrischen Eigenschaften bewegt, können Sie immer noch eine Karte der Position eines Punktes im Laufe der Zeit erstellen. Aber die Karte würde anders aussehen: Der Raum wäre mit Strängen oder Kurven gefüllt, die die Wege jedes Punktes darstellen - diese Nudeln wieder.

Frankels neue Arbeit, Grobe Hyperbolizität und geschlossene Bahnen für quasigeodische Ströme, ist eine Vermutung von Danny Calegari, dem Mathematiker der Universität von Chicago, der Frankels früherer Berater und Mentor war. Calegari prophezeite, dass diese Flüsse geschlossene Umlaufbahnen hätten - was bedeutet, dass einige von ihnen notwendigerweise dorthin zurückfließen würden, wo sie begonnen hatten; Frankel tat das schwere Heben, um zu beweisen, dass es wahr war.

"Es gibt eine Beziehung zwischen diesen dynamischen Phänomenen, die auftreten - zum Beispiel den stationären Punkten und den wiederkehrenden Punkten - und der großräumigen Struktur des zugrunde liegenden Raums, in dem diese dynamische Struktur dargestellt wird", sagte Frankel.

Frankel begann seine Karriere als Ingenieur an der Cooper Union, fand aber bald seine Leidenschaft in der reinen Mathematik. Er hat seinen Ph.D. an der University of Cambridge im Jahr 2013, nachdem er 2011 Calegari vom California Institute of Technology nach Großbritannien gefolgt war. Frankel lehrte dann vier Jahre Mathe an der Yale University.

Im Herbst 2017 lehrte er seine erste Klasse an der Washington University.

"Jeder Student war fantastisch", sagte Frankel über die Studenten im oberen Kurs der Graphentheorie. "Nicht jeder war ein Superstar. Aber am Ende war es allen angenehm, während des Unterrichts Fragen zu stellen - und mich zu unterbrechen, wenn sie dachten, dass ich falsch lag.

"Sie waren wirklich mit dem Lernen beschäftigt", sagte Frankel. "Ich kann nicht übertreiben, wie wichtig das ist.

"Es gibt diesen Mythos, dass es beim Lernen von Mathematik darum geht, eine Reihe von Theoremen auswendig zu lernen und zu lernen, wie man sie zusammenfügt", sagte er. "Der beste Weg zu lernen ist, eine Frage im Kopf zu haben - und daran zu stochern und zu versuchen, es selbst zu beantworten. Und das erfordert ein Maß an Engagement seitens des Schülers, das man nicht überall findet."

Das bringt uns zurück zu den Nudeln und den wichtigsten Erkenntnissen aus seiner Arbeit.

"Es ist die dümmste, aber immer noch genaue Art zu sagen, was dieses Papier sagt", sagte Frankel. "Wenn du eine Schüssel hast und sie mit Nudeln gefüllt ist, die sich nicht zu sehr zusammenballen, müssen einige dieser Nudeln Schleifen bilden."

Aber sind die Nudeln Linguine? Oder Rigatoni?

Frankel macht dich nicht albern, wenn du fragst. (Die Antwort: Linguine)

"Die Sache mit der Mathematik ist, dass es keine offensichtlichen Fragen gibt", sagte Frankel. "In der Mathematik gibt es keine offensichtlichen Fragen, weil es sich nicht um Objekte handelt, die direkt vor Ihnen liegen."

Er weist schnell auf den Einfluss früherer Generationen und auch auf die aktuelle Arbeit der Menschen um ihn herum in einer Abteilung hin.

"Mathematik ist eine Gemeinschaftsaktivität, keine individuelle", sagte Frankel. "Ich kann mir nicht einfach sagen, dass ich mich auf den Platz setze und nachdenke. Ich kann mich nicht dazu anleiten, aus heiterem Himmel etwas Interessantes zu finden.

"Aus irgendeinem Grund ist es nur die Art, wie unser Verstand arbeitet. Sie müssen sich von etwas leiten lassen. Die Fragen oder Vermutungen, die Sie in der Mathematik finden - sie können für sich interessant sein, sie können interessant sein, weil sie Sie führen, " er sagte. "Es ist genauso wichtig, wenn nicht sogar wichtiger, die richtigen Fragen zu stellen, um diese Fragen beantworten zu können."

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